Подручја рада
Претрага
66. Бодеов критеријум стабилности

             Одређивање корена карактеристичне једначине ради испитивања стабилности система није увек једноставно, поготову када је једначина више од другог реда.Када се одреде корени тешко је према њима утврдити који параметри система и како утичу на његову стабилност.Због тога су развијени поступци који омогућавају испитивање стабиланости система без решавања карактеристичне једначине,а називају се критеријуми стабилности.До сада је развијено више критеријума стабилности,али се они могу сврстати у две основне групе :

- аналитички – користе алгебарске операције са коефицијентима карактеристичнихједначина или преносних функција,

- фреквентни критеријуми – користе графичке методе одређивања амплитудно-фазних фреквентних карактеристика.                 

               Први аналитички критеријум стабилности урадили су математичари  Рут (1877.) и Хурвиц (1895.) у облику алгебарских једначина добијених по одређеним правилима од коефицијената карактеристичне једначине.          

               Недостатк алгебарских критеријума стабилности отклања се применом графо-аналитичких критеријума стабилности нпр. Михајлов ,Никвистов,Бодеов идруги критеријуми стабилности

               Никвистов критеријум заснива се на анализи фререквентног одзива.Фреквентниодзив представља синусни одзив.Ово је један од критеријума за испитивање стабил-ности система у домену учестаности,помоћу њега се може утврдити стабилност система преко амплитуде и фазно фреквентне карактеристике отвореног система.Никвистов критеријум омогућава да се одреди степен стабилности,јер уколико Никвистова крива W0(јω) пролази ближе критичним координатама –1 и ј0 утоликосе систем приближава граници стабилности  (W0 – еквивалентна преносна функција припадајућег отвореног кола). Никвистов критеријум има недостатака и то :

- тешко конструисање Никвистове криве за сложеније системе,

- тешко се може одредити утицај промене појединих параметара на стабилност система.         

               Боде (1945.САД) је  интерпретирао  Никвистов критеријум у логаритамском облику.Показао је да се стабилност система са затвореним колом може одредити помоћу логаритамске амплитудно-фреквентне карактеристике система са отвореним колом.Карактеристике су познате као Бодеови дијаграми :свакој одређеној учестаности ω1 одговара једна вредност модула  А(ω1) и фазног угла  φ(ω1).

                   Модули и фазе вектора W0(jω) за учестаности од ω = 0 до ω = ∞ представљенису у поларном координатном систему Никвистовом кривом,у правоуглом координатном систему могу представити  са две одвојене криве, модул и фаза у функцији фреквенције.Боде их је изразио у функцији  логаритамске фреквенције и  добио логсритамске фреквентне карактеристике.Одређене тачке Никвистовог критеријума одговарају потпуно одређене тачке и величине на Бодеовом дијаграму.За одређивање стабилности помоћу Бодеовог критеријума користи се дефиниција Никвистовог критеријума,при чему се јединични круг (r = А = 1) и негативни део  реалне осе Никвистовог дијаграма трансформишу у апсцисне осе Бодеовог дијаграма.Дефиниција стабилности система преко Боидеовог дијаграма гласи :Да би један стабилан систем са отвореним колом  био стабилан и у затвореном колу,потребно је да у тачки са фреквенцијом  ωπ вредност модула у децибелима буде мања од 0,односно негативна. 

                           stabilan_SAU.jpg

                                                                                    Стабилан САУ                                                                                                                                     а)  Никвистова крива                      б) Бодеов дијаграм

                            nestabilan_SAU.jpg

                                                                             Нестабилан САУ                                                                                                 а) Никвистова крива                                    б) Бодеов дијаграм

                  Код стабилног система  ωπ > ωφ ,а код нестабилног је обрнуто  -ωπ < ωφ ,када је ωπ = ωφ систем је на граници стабилности..Пресечна тачкафазне карактеристике φ (ω) са правом (-π) за стабилан систем са затвореним колом треба да лежи у области негативних вредности модула ( А(ω) < 1 или L(ω) < 0),а за нестабилан систем у области позитивних вредности модула ( А(ω) > 1 или L(ω) > 0).Према Бодеовом критеријуму  услов да систем са затвореним колом буде стабилан да у области фреквенције лево од  ωφ, када је  L(ω) > 0,број пресечних тачака логаритамске Фазно-фреквентне карактеристике  φ(ω) с правом (-π) буде паран.     

                            uslovno_stabil.sis.SAU.jpg

                                                                Условно стабилан систем САУ                                                                                                                                а) Никвистова крива                         б) Бодеов дијаграм

                   За анализу стабилности система помоћу Бодеовог дијаграма  потребно их је нацртати,наћи интервал фреквенција за које је  L(ω) >0 и одредити у том интервалу број пресечних тачака логаритамско-фазне карактеристике φ(ω) са правцем (-π).          

                   Преимућство Бодеовог критеријума стабилности огледа се што се Бодеови дијаграми морула и фазе у већини случајева могу конструисати практично без икаквих рачунских операција.